周长一定如何使面积最大

当一个正多边形的周长固定时，将其分割成若干个相等的小正多边形，使得这些小正多边形的数目越多，那么这个正多边形的面积就越大。

具体而言，当正多边形的周长为$L$，小正多边形边长为$a$时，小正多边形的边数为$n=\frac{L}{a}$。将正多边形分割成$m$个小正多边形，则每个小正多边形的面积为$S=\frac{a^2}{4}\tan\frac{\pi}{n}$。因此正多边形的面积为$A=mnS=\frac{L^2}{4}\frac{\tan\frac{\pi}{n}}{\tan\frac{\pi}{n}\cdota^2}$。当$n$固定时，$A$随$a$的变化呈现U形，因此当$a$取到最大值时，$A$也会取得最大值。因此，当正多边形的周长一定时，将其分割成边长最大的小正多边形，可以使得面积最大。