积分如何求导

求积分的导数，可以利用“牛顿-莱布尼茨公式”。

设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，则有：

$$\frac{d}{dx}\int\limits_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$$

这个公式说明了当 $x$ 在 $[a, b]$ 内变化时，积分的导数为原函数 $f(x)$。注意，这里的 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 的连续可导函数。

如果将上式变形，可以得到：

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$

其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。这个公式说明了积分是原函数的反函数，积分的值等于原函数在积分区间端点处的差值。

在一些情况下，可以利用积分的性质来求导数，例如，求 $\frac{d}{dx}\int\limits_{0}^{x} e^{-t^2}\mathrm{d}t$，可以将上式表示成：

$$\frac{d}{dx}\int\limits_{0}^{x} e^{-t^2}\mathrm{d}t=e^{-x^2}$$

这里，可以利用函数的连续性和积分的定义来得到结果。