矩阵如何正交化

给定一个矩阵 $A=\{a_{ij}\}_{m\times n}$ ，矩阵正交化要求将其列向量正交化，即找到一个正交矩阵 $Q=\{q_{ij}\}_{n\times n}$ 使得 $Q^\mathrm{T}AQ=R$，其中 $R=\{r_{ij}\}_{n\times n}$ 为上三角矩阵。

矩阵正交化的具体步骤如下：

1. 针对 $A$ 的第一列，令 $q_1=a_1/\|a_1\|$，$\|a_1\|$ 表示向量 $a_1$ 的模长。

2. 对于 $A$ 的第 $j$ 列（$j>1$），令 $q_j=a_j-\sum_{i=1}^{j-1}(q_i^\mathrm{T}a_j)q_i$，即 $q_j$ 是 $a_j$ 投影到 $q_1,q_2,\cdots,q_{j-1}$ 中正交向量的剩余部分。然后令 $q_j=q_j/\|q_j\|$。

3. 将 $q_1,q_2,\cdots,q_n$ 的列向量组成正交矩阵 $Q$，即可得到正交化后的矩阵 $Q$。

需要注意的是，如果 $A$ 中存在线性相关的向量，那么正交化过程中可能会出现 $q_j=0$ 的情况，此时需要将对应的列向量删去，然后重新开始矩阵正交化。