正交基怎么求

给定一个向量空间V，如果它含有一组基底{v1, v2, ..., vn}，则我们称这组基底是正交基，当且仅当，在这组基底中，任意两个向量vi和vj（i ≠ j）的内积为0，即：

vi ⋅ vj = 0， i ≠ j

如果我们已知一个向量空间的一组基底{w1, w2, ..., wn}，我们想要求出它的正交基{v1, v2, ..., vn}，可以使用以下步骤：

1. 选取任意一个非零向量v1，作为正交基中的第一个向量。

2. 对于i > 1，设已经求得正交基中前i - 1个向量{v1, v2, ..., vi-1}，考虑向量wi与这些向量的正交投影。具体来说，我们可以用Gram-Schmidt正交化算法对向量wi进行处理，以获得一个与{v1, v2, ..., vi-1}正交的向量ui，然后将向量vi设为向量ui的单位向量，即：

ui = wi - pi-1 = wi - (wi ⋅ v1) / (v1 ⋅ v1) * v1 - ... - (wi ⋅ vi-1) / (vi-1 ⋅ ui-1) * vi-1

vi = ui / ||ui||

其中，pi-1表示wi在向量v1, v2, ..., vi-1张成的子空间中的正交投影。

3. 重复步骤2，直到求出正交基中所有的n个向量。