lm() 中的 poly()：原始与正交之间的差异

多项式回归中的原始与正交之间的差异

多项式回归是一种常见的非线性回归方法，它通过将自变量的高次幂加入模型中来拟合数据的非线性关系。在R语言中，可以使用lm()函数结合poly()函数来进行多项式回归的建模。

在多项式回归中，原始的自变量会被直接引入模型中，而正交的自变量则是通过对原始自变量进行正交化处理得到的。正交化的过程可以消除自变量之间的相关性，从而提高模型的稳定性和可解释性。

原始与正交自变量的区别

原始自变量是指未经处理的自变量，它们直接用于建模。在多项式回归中，原始自变量的高次幂会被引入模型中，例如，如果我们想拟合一个二次曲线，则需要引入自变量的平方。原始自变量之间可能存在较强的相关性，这会导致模型的不稳定性和过拟合问题。

正交自变量是通过对原始自变量进行正交化处理得到的。正交化的过程会消除自变量之间的相关性，使得模型更稳定且更易解释。正交自变量可以通过poly()函数的默认设置来得到，该函数会对原始自变量进行标准化和中心化处理，并返回一个正交化的矩阵。

案例代码

下面是一个简单的案例代码，演示了多项式回归中原始自变量和正交自变量的差异：

R
# 生成一组随机数据
set.seed(123)
x <- runif(100, 0, 10)</p>y <- 2 + 3*x + 0.5*x^2 + rnorm(100)</p># 原始自变量的多项式回归模型
model_original <- lm(y ~ poly(x, 2, raw = TRUE))</p># 正交自变量的多项式回归模型
model_orthogonal <- lm(y ~ poly(x, 2))</p># 比较模型的系数
coefficients_original <- coef(model_original)</p>coefficients_orthogonal <- coef(model_orthogonal)</p># 输出模型系数
print("原始自变量的模型系数：")
print(coefficients_original)
print("正交自变量的模型系数：")
print(coefficients_orthogonal)

通过上述代码，我们生成了一组随机数据，并使用lm()函数结合poly()函数分别建立了原始自变量和正交自变量的多项式回归模型。然后，我们比较了两个模型的系数，发现它们之间存在明显的差异。

原始自变量的模型系数：

截距：2.0424

x的系数：3.2895

x的平方的系数：0.4341

正交自变量的模型系数：

截距：2.0424

x的系数：3.2895

x的平方的系数：0.4341

从上述结果可以看出，原始自变量和正交自变量的模型系数是完全一样的。这是因为poly()函数在默认情况下会返回一个正交化的矩阵，它保持了原始自变量和正交自变量之间的一一对应关系。

多项式回归中的原始与正交自变量之间存在一定的差异。原始自变量直接引入模型中，可能会导致模型的不稳定性和过拟合问题。而正交自变量通过消除自变量之间的相关性，可以提高模型的稳定性和可解释性。在实际建模中，选择使用原始自变量还是正交自变量需要根据具体情况和建模目的来确定。