集齐n张卡片的期望抽数公式推导过程疑问

要从完全没有卡片到收集齐 ( n ) 张卡片，必须一步步完成，依次经历从 0 张到 1 张、2 张，直到 ( n ) 张的完整过程。我们需要计算在收集过程中，从已有的 ( m ) 张卡片到 ( m+1 ) 张卡片平均需要抽取多少次，记为 ( E_m )。最终总的期望抽卡次数 ( P_n ) 可表示为 ( E_0 + E_1 + cdots + E_{n-1} )。假设当前已经收集了 ( m ) 张卡片，在单次抽卡中，有 ( frac{m}{n} ) 的概率抽到重复的卡片，而有 ( frac{n-m}{n} ) 的概率抽到新的卡片，从而进入拥有 ( m+1 ) 张卡片的状态。因此，从 ( m ) 张到 ( m+1 ) 张的期望抽卡次数 ( E_m ) 可以通过以下公式推导：[E_m = 1 cdot frac{n-m}{n} + 2 cdot frac{m}{n} cdot frac{n-m}{n} + 3 cdot left(frac{m}{n}right)^2 cdot frac{n-m}{n} + cdots]为了简化计算，考虑函数 ( F(x) = frac{x}{1-x} = x + x^2 + x^3 + cdots ) （当 ( 0 leq x < 1 )），其导数为 ( F'(x) = frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + cdots )。将这些结果代入后，可以得到：[E_m = frac{n-m}{n} cdot F'left(frac{m}{n}right)]进一步化简得：[E_m = frac{n}{n-m}]将所有 ( E_m ) 相加，得到总的抽卡期望次数：[P_n = sum_{k=0}^{n-1} frac{n}{n-k}]调整求和顺序，可写成：[P_n = n cdot sum_{k=1}^n frac{1}{k}]其中，( sum_{k=1}^n frac{1}{k} ) 是调和级数，其值可以用经典近似公式 ( ln(n+1) + gamma ) 表示，其中欧拉常数 ( gamma approx 0.577 )。因此，总抽卡次数 ( P_n ) 的近似值为：[P_n approx n cdot (ln(n+1) + gamma)]这一公式可以用来估算收集齐 ( n ) 张卡片所需的平均抽卡次数。