肿么这个函数不存在呢？

在19世纪中期，数学家普遍认为除了某些例外的孤立点之外，连续函数总是可微的。当时流行的教科书甚至“证明”了这样一个定理。然而，直到数学家维尔斯特拉斯（W.G. Lebesgue）于1875年提出了一个处处连续但处处不可导的例子后，这个观点才被打破。我将在这里介绍一个较简单但很好的例子来解释这个问题。首先构造一个函数u(x)，它表示x到最近整数的距离（其中[x]表示不大于x的最大整数）。利用这个函数可以构造一个序列{uk(x)}={u(4^k*x)/4^k}(k=0,1,2,……)。显然，函数uk(x)在实数集上是连续的，并且它以1/4^k为周期，在其定义域内其取值范围为[0,1/2]。现在考察函数f(x)=u0(x)u1(x)u2(x)……uk(x)，其中右端的级数是正项级数，且uk(x)≤1/(2*4^k)，而下一级数v0,v1,v2……vk……收敛，则说明了u0(x),u1(x),u2(x),……uk(x)……一致收敛，因此f(x)在实数集上处处连续。但是，我们可以验证f(x)在实数集上处处不可导。事实上，对于任意实数c和任意自然数n，总存在整数rn，使得rn≤2*4^(n-1)*c