偏导数怎么求例题

举一个简单的例子：

已知 $f(x, y) = x^3 + 2y^2 + xy$，求 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$。

解法：

对于 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求偏导数，即：

$$

\begin{aligned}

\dfrac{\partial f}{\partial x} &= \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3 + 2y^2 + xy) \\

&= 3x^2 + y

\end{aligned}

$$

同理，对于 $\dfrac{\partial f}{\partial y}$，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求偏导数，即：

$$

\begin{aligned}

\dfrac{\partial f}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y}(x^3 + 2y^2 + xy) \\

&= 4y + x

\end{aligned}

$$

因此，$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + y$，$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y + x$。

注意：在求偏导数时，视为常数的变量不参与求导，其余变量求导后不要忘记加上 $\text{d}x$ 或 $\text{d}y$。