二重积分怎么求导

LG

对于一个带有变量参数的二重积分函数$F(x,y)$，我们需要分别对$x$和$y$求偏导数：

$$\frac{\partial}{\partialx}\int_{a(x)}^{b(x)}F(x,y)\,dy$$

$$\frac{\partial}{\partialy}\int_{c(y)}^{d(y)}F(x,y)\,dx$$

对于第一个式子，我们需要利用积分区间的上下限$a(x)$和$b(x)$的导数进行处理。令$G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}F(x,y)\,dy$，则:

$$\frac{\partial}{\partialx}\int_{a(x)}^{b(x)}F(x,y)\,dy=\frac{\partiaLG(x)}{\partialx}=F(x,b(x))\cdotb'(x)-F(x,a(x))\cdota'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partialF(x,y)}{\partialx}\,dy$$

对于第二个式子，我们需要利用积分区间的上下限$c(y)$和$d(y)$的导数进行处理。令$H(y)=\int_{c(y)}^{d(y)}F(x,y)\,dx$，则:

$$\frac{\partial}{\partialy}\int_{c(y)}^{d(y)}F(x,y)\,dx=\frac{\partialH(y)}{\partialy}=F(d(y),y)\cdotd'(y)-F(c(y),y)\cdotc'(y)+\int_{c(y)}^{d(y)}\frac{\partialF(x,y)}{\partialy}\,dx$$

最终的结果可以通过以上两个式子进行计算。