求反常积分0到1x根号下（x/1-x） dx

求解反常积分 \\(\\int_0^1 x\\sqrtfrac}1-x}} \\, dx\\) 需要小心处理被积函数在区间端点的奇异性。具体来说，当 \\(x\\) 接近 1 时，\\(\\sqrtfrac}1-x}}\\) 趋于无穷大，因此这是一个在右端点上发散的反常积分。

首先，我们可以尝试使用代换法来简化积分。设 \\(x = \\sin^2 \\theta\\)，则 \\(dx = 2\\sin \\theta \\cos \\theta \\, d\\theta\\)。同时，当 \\(x = 0\\) 时，\\(\\theta = 0\\)；当 \\(x = 1\\) 时，\\(\\theta = \\fracpi}2}\\)。代入原积分，得到：

\\[ \\int_0^1 x\\sqrtfrac}1-x}} \\, dx = \\int_0^fracpi}2}} \\sin^2 \\theta \\sqrtfracsin^2 \\theta}1-\\sin^2 \\theta}} \\cdot 2\\sin \\theta \\cos \\theta \\, d\\theta \\]

注意到 \\(1-\\sin^2 \\theta = \\cos^2 \\theta\\)，代入上式得到：

\\[ \\int_0^fracpi}2}} \\sin^2 \\theta \\sqrtfracsin^2 \\theta}\\cos^2 \\theta}} \\cdot 2\\sin \\theta \\cos \\theta \\, d\\theta = \\int_0^fracpi}2}} \\sin^2 \\theta \\cdot \\fracsin \\theta}\\cos \\theta} \\cdot 2\\sin \\theta \\cos \\theta \\, d\\theta \\]

进一步简化得：

\\[ \\int_0^fracpi}2}} 2\\sin^4 \\theta \\, d\\theta \\]

接下来，我们使用二倍角公式来简化 \\(\\sin^4 \\theta\\)。我们知道 \\(\\sin^2 \\theta = \\frac1-\\cos 2\\theta}2}\\)，则 \\(\\sin^4 \\theta = \\left(\\frac1-\\cos 2\\theta}2}\\right)^2 = \\frac1-2\\cos 2\\theta + \\cos^2 2\\theta}4}\\)。

再次使用二倍角公式，\\(\\cos^2 2\\theta = \\frac1+\\cos 4\\theta}2}\\)，代入得到：

\\[ \\sin^4 \\theta = \\frac1-2\\cos 2\\theta + \\frac1+\\cos 4\\theta}2}}4} = \\frac1-2\\cos 2\\theta + \\frac1}2} + \\fraccos 4\\theta}2}}4} = \\fracfrac3}2} - 2\\cos 2\\theta + \\fraccos 4\\theta}2}}4} = \\frac3}8} - \\frac1}2}\\cos 2\\theta + \\frac1}8}\\cos 4\\theta \\]

代入积分中，我们得到：

\\[ \\int_0^fracpi}2}} 2\\left(\\frac3}8} - \\frac1}2}\\cos 2\\theta + \\frac1}8}\\cos 4\\theta\\right) \\, d\\theta = \\int_0^fracpi}2}} \\left(\\frac3}4} - \\cos 2\\theta + \\frac1}4}\\cos 4\\theta\\right) \\, d\\theta \\]

分别计算每一项的积分：

\\[ \\int_0^fracpi}2}} \\frac3}4} \\, d\\theta = \\frac3}4}\\theta \\bigg|_0^fracpi}2}} = \\frac3\\pi}8} \\]

\\[ \\int_0^fracpi}2}} -\\cos 2\\theta \\, d\\theta = -\\frac1}2}\\sin 2\\theta \\bigg|_0^fracpi}2}} = 0 \\]

\\[ \\int_0^fracpi}2}} \\frac1}4}\\cos 4\\theta \\, d\\theta = \\frac1}16}\\sin 4\\theta \\bigg|_0^fracpi}2}} = 0 \\]

因此，原积分的结果为：

\\[ \\frac3\\pi}8} \\]