函数如何展开成幂级数

对于一个函数$f(x)$，若它在某一点$x_0$附近有定义且具有无穷次可导性质，那么它可以被展开成幂级数形式：

$$

f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

$$

其中$f^{(n)}(x_0)$表示$f(x)$在$x_0$处的$n$阶导数。这种等式称为泰勒级数展开式。泰勒级数是一种函数展开的方式，即通过一组已知的基函数来逼近一个函数。在这种情况下基函数是幂函数。

需要注意的是，泰勒级数的形式只对于特定的函数类有效，即对符合幂级数收敛定理的函数有效。对于某些函数，例如$\frac{1}{1+x^2}$在$x=1$处的展开，由于幂级数无法到达某些特殊点，因此无法使用泰勒级数展开。在这种情况下，需使用其他展开方法，例如二项式定理或微积分学的泊松和柯西公式等。