参数方程如何消参例题

假设给定一个参数方程：

$$

\begin{cases}

x = t^2 + 1\\

y = 2t + 1

\end{cases}

$$

需要将参数 $t$ 消去，得到 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

方法：将参数方程中的 $t$ 用 $x$ 表示出来，代入 $y$ 的方程中即可。

由第一个式子 $x = t^2+1$ 可推出 $t^2 = x-1$，进而得到 $t=\pm \sqrt{x-1}$。将其中一个特解 $t=\sqrt{x-1}$ 代入第二个式子 $y=2t+1$ 中，得到

$$

y = 2\sqrt{x-1}+1

$$

同理，将 $t=-\sqrt{x-1}$ 代入第二个式子，得到另一个特解 $y=-2\sqrt{x-1}+1$。因此，原始参数方程的解为

$$

y = 2\sqrt{x-1}+1 \quad \text{或} \quad y=-2\sqrt{x-1}+1

$$