连续函数有什么性质

连续函数有以下性质：

1. 介值定理：如果 $\mathrm{f(x)}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数，且 $\mathrm{f(a)

2. 有界性： 如果 $\mathrm{f(x)}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数，那么 $\mathrm{f(x)}$ 在 $\mathrm{[a,b]}$ 内是有界的，即存在一个实数 $M>0$ 使得 $\mathrm{|f(x)|\leq M}$。

3. 最大值和最小值定理：如果 $\mathrm{f(x)}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数，那么 $\mathrm{f(x)}$ 在 $\mathrm{[a,b]}$ 内有最大值和最小值。即存在 $\mathrm{x_0∈[a,b]}$ 使得 $\mathrm{f(x_0)}$ 是 $\mathrm{f(x)}$ 在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的最大值或最小值。

4. 一致连续性：如果 $\mathrm{f(x)}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数，那么 $\mathrm{f(x)}$ 在 $\mathrm{[a,b]}$ 上是一致连续的，即对于任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $\mathrm{|x-y|<\delta}$ 时，有 $\mathrm{|f(x)-f(y)|<\epsilon}$。

5. 连续映射定理：如果 $\mathrm{f(x)}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数，而 $\mathrm{g(x)}$ 是一个定义在 $\mathrm{f(x)}$ 的值域上的连续函数，则 $\mathrm{g(f(x))}$ 是一个在区间 $\mathrm{[a,b]}$ 上的连续函数。