偏导数连续怎么证明

要证明函数的偏导数在某点连续，需要使用定义和极限的方法进行证明。

假设函数为f(x, y)，则在点(x₀,y₀)处，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y的定义为：

∂f/∂x = lim (h→0) [f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)]/h

∂f/∂y = lim (k→0) [f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)]/k

现在需要证明，在点(x₀,y₀)处，当x和y趋近0时，偏导数的极限值相等且存在，即，

lim (x→0, y→0) (∂f/∂x) = lim (x→0, y→0) (∂f/∂y)

使用极限的定义，即对于任意ε>0，存在δ>0，当|x-x₀|<δ且|y-y₀|<δ时，有：

|f(x,y)-f(x₀,y₀)-(∂f/∂x)(x-x₀)-(∂f/∂y)(y-y₀)|<ε

现在需要证明，当(x,y)趋近于(x₀,y₀)时，公式中的左边趋近于0。

因为偏导数∂f/∂x和∂f/∂y在点(x₀,y₀)连续，所以有：

lim (x→0, y→0) [f(x₀+x,y₀)-f(x₀,y₀)]=lim (x→0, y→0) [f(x₀,y₀+y)-f(x₀,y₀)]=0

因此，对于任意ε>0，存在δ>0，当|x-x₀|<δ且|y-y₀|<δ时，上述极限式子的绝对值小于ε/2。

接下来，考虑两个偏导数的差：

| (∂f/∂x)-(∂f/∂y) | = |f(x,y)-f(x₀,y)+(∂f/∂y)(y-y₀)-(∂f/∂x)(x-x₀)-f(x,y₀)+(∂f/∂x)(x-x₀)-(∂f/∂y)(y-y₀)+f(x₀,y₀)|

根据三角不等式有：

| (∂f/∂x)-(∂f/∂y) | ≤ |f(x,y)-f(x₀,y)+(∂f/∂y)(y-y₀)-(∂f/∂x)(x-x₀)| + |f(x,y₀)-f(x₀,y₀)+(∂f/∂x)(x-x₀)-(∂f/∂y)(y-y₀)|

根据前面的定义和极限式，右侧每个绝对值都小于ε/2。因此：

lim (x→0, y→0) | (∂f/∂x)-(∂f/∂y) | ≤ ε

这就证明了在点(x₀,y₀)处，偏导数连续。