对称矩阵怎么求

对称矩阵指的是矩阵的转置矩阵与矩阵本身相等，即 $A = A^T$。下面介绍对称矩阵的求法：

1. 由已知对称矩阵确定元素：若矩阵 $A$ 是对称矩阵，即 $A = A^T$，则我们可以根据已知的对称矩阵元素确定另一个位置的元素。例如，若 $A$ 是 $3 \times 3$ 的对称矩阵，已知 $a_{11}, a_{12}, a_{22}, a_{23}$，则有 $a_{21} = a_{12}, a_{31} = a_{13}, a_{32} = a_{23}$，且 $a_{33} = a_{22}$，即可求出整个矩阵 $A$。

2. 由普通矩阵构造对称矩阵：我们可以通过将一个普通矩阵 $B$ 与其转置 $B^T$ 求平均来构造一个对称矩阵 $A$，即 $A = \dfrac{1}{2}(B + B^T)$。例如，若 $B = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\\end{bmatrix}$，则 $B^T = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \\\end{bmatrix}$，所以 $A = \begin{bmatrix}1 & \dfrac{5}{2} \\ \dfrac{5}{2} & 4 \\\end{bmatrix}$。

3. 通过对角化求得：对称矩阵都可以通过正交相似对角化为对角矩阵，即存在正交矩阵 $P$ 使得 $A = P\Lambda P^{-1}$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线上的元素是 $A$ 的特征值。如果我们已知矩阵 $A$ 的特征值和特征向量，我们可以求出 $P$，从而得到对称矩阵 $A$。