若方阵A、B满足 A^3-2E=0 ,证明A可逆,并求(A-E)^-1}

为了证明方阵 \\( A \\) 可逆，并求解 \\((A-E)^1}\\)，我们可以从给定的条件出发。已知条件为 \\( A^3 - 2E = 0 \\)，即 \\( A^3 = 2E \\)，其中 \\( E \\) 是单位矩阵。

证明 \\( A \\) 可逆

根据已知条件 \\( A^3 = 2E \\)，我们可以看到 \\( A^3 \\) 是一个非零矩阵（因为 \\( 2E \\neq 0 \\)）。这意味着 \\( A \\) 不能有零特征值，否则 \\( A^3 \\) 也会有零特征值，从而导致 \\( A^3 = 0 \\)，这与已知条件矛盾。因此，\\( A \\) 的所有特征值都不为零，即 \\( A \\) 是可逆的。

求解 \\((A-E)^1}\\)

为了求解 \\((A-E)^1}\\)，我们可以使用给定的条件构造一个方程。首先，从 \\( A^3 = 2E \\) 出发，我们可以尝试找到一个多项式使得 \\( (A-E) \\) 的逆矩阵可以通过已知的 \\( A \\) 来表示。

我们注意到 \\( A^3 - 2E = 0 \\) 可以改写为： \\[ A^3 - 2E = (A-E)(A^2 + AE + E) - E = 0 \\]

这可以进一步简化为： \\[ (A-E)(A^2 + AE + E) = E \\]

这表明 \\( A+E+A^2 \\) 可能是 \\( A-E \\) 的逆矩阵。因此，我们可以假设： \\[ (A-E)^1} = \\frac1}2}(A^2 + AE + E) \\]

为了验证这个假设是否正确，我们可以将假设的逆矩阵和 \\( A-E \\) 相乘，看是否能得到单位矩阵 \\( E \\)： \\[ (A-E) \\left( \\frac1}2}(A^2 + AE + E) \\right) = \\frac1}2} (A-E)(A^2 + AE + E) = \\frac1}2} E = E \\]

显然，这里有一个问题，我们假设的逆矩阵并没有直接得到单位矩阵，而是得到了 \\(\\frac1}2}E\\)。这说明我们需要调整假设的逆矩阵表达式，使其乘积为 \\( E \\)，而不是 \\(\\frac1}2}E\\)。

考虑到 \\( A^3 = 2E \\)，我们可以尝试： \\[ (A-E)(\\alpha A^2 + \\beta A + \\gamma E) = E \\]

通过比较系数的方法，我们可以找到合适的 \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\), \\(\\gamma\\)。这里我们已经知道通过前面的步骤可以得出 \\( \\alpha = \\beta = \\gamma = \\frac1}2} \\) 是一个解，但是我们需要确保乘积等于 \\( E \\)，而不是 \\(\\frac1}2}E\\)，因此我们可以直接使用 \\( A^2 + AE + E \\) 并乘以 2 来得到正确的逆矩阵： \\[ (A-E)^1} = \\frac1}2}(A^2 + AE + E) \\cdot 2 = A^2 + AE + E \\]

因此，我们可以得出结论： \\[ (A-E)^1} = A^2 + AE + E \\]

这个结论是基于给定的条件和方阵的性质推导出来的。