coth{Ln[根号下（5加上2倍根号5）]}，如何计算双曲余切值

要计算表达式 \\(\\coth[\\ln(\\sqrt5} + 2\\sqrt5})]}\\) 的值，我们首先需要简化内部的对数表达式。给定的表达式中，\\(\\sqrt5} + 2\\sqrt5}\\) 可以简化为 \\(3\\sqrt5}\\)，因此表达式变为 \\(\\coth[\\ln(3\\sqrt5})]}\\)。

接下来，我们使用双曲余切函数的定义，\\(\\coth(x) = \\fraccosh(x)}sinh(x)}\\)，来计算这个值。但是直接计算 \\(\\coth[\\ln(3\\sqrt5})]}\\) 并不是一件直接的事情，因为我们需要先计算 \\(\\cosh(\\ln(3\\sqrt5}))\\) 和 \\(\\sinh(\\ln(3\\sqrt5}))\\)。

我们可以使用双曲函数的指数定义： \\[ \\cosh(x) = \\frace^x + e^x}}2} \\] \\[ \\sinh(x) = \\frace^x - e^x}}2} \\] 设 \\(x = \\ln(3\\sqrt5})\\)，则有： \\[ \\cosh(\\ln(3\\sqrt5})) = \\frace^ln(3\\sqrt5})} + e^\\ln(3\\sqrt5})}}2} = \\frac3\\sqrt5} + \\frac1}3\\sqrt5}}}2} \\] \\[ \\sinh(\\ln(3\\sqrt5})) = \\frace^ln(3\\sqrt5})} - e^\\ln(3\\sqrt5})}}2} = \\frac3\\sqrt5} - \\frac1}3\\sqrt5}}}2} \\]

因此，\\(\\coth(\\ln(3\\sqrt5}))\\) 可以写为： \\[ \\coth(\\ln(3\\sqrt5})) = \\fraccosh(\\ln(3\\sqrt5}))}\\sinh(\\ln(3\\sqrt5}))} = \\frac3\\sqrt5} + \\frac1}3\\sqrt5}}}3\\sqrt5} - \\frac1}3\\sqrt5}}} \\]

为了进一步简化，我们可以将分子和分母同时乘以 \\(3\\sqrt5}\\) 来消除分母中的分数： \\[ \\coth(\\ln(3\\sqrt5})) = \\frac3\\sqrt5})^2 + 1}(3\\sqrt5})^2 - 1} = \\frac45 + 1}45 - 1} = \\frac46}44} = \\frac23}22} \\]

所以，\\(\\coth[\\ln(\\sqrt5} + 2\\sqrt5})]}\\) 的值是 \\(\\frac23}22}\\)。