根号怎么求导数

根号函数求导有以下两种方法：

方法一：分部积分法

考虑函数 $y=\sqrt{x}$，可以将其视作 $y=x^{1/2}$，那么其导数为：

$$

\begin{aligned}

y' &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^{1/2} \\

&= \frac{1}{2}x^{-1/2} \\

&= \frac{1}{2\sqrt{x}}

\end{aligned}

$$

方法二：利用定义式

根据导数的定义式，有：

$$

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

$$

对于根号函数 $f(x)=\sqrt{x}$，代入上式可得：

$$

\begin{aligned}

f'(x) &= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} \\

&= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}\cdot \frac{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} \\

&= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x+\Delta x-x}{\Delta x\cdot(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} \\

&= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} \\

&= \frac{1}{2\sqrt{x}}

\end{aligned}

$$

可以得到与方法一相同的导数结果。