合同矩阵怎么求

合同

合同矩阵指两个实对称矩阵的关联矩阵。设 $A$ 和 $B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵，则它们的合同矩阵定义为 $C = A \triangle B = P^\mathrm{T} A P = Q^\mathrm{T} B Q$，其中 $P$ 和 $Q$ 分别是 $n$ 阶正交矩阵。

求合同矩阵的方法如下：

1. 对矩阵 $A$ 进行正交对角化，即 $A = P^\mathrm{T} D_A P$，其中 $P$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$D_A$ 是对角矩阵；

2. 对矩阵 $B$ 进行正交对角化，即 $B = Q^\mathrm{T} D_B Q$，其中 $Q$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$D_B$ 是对角矩阵；

3. 将矩阵 $A$ 和 $B$ 称为伴随矩阵，则存在矩阵 $U = P^\mathrm{T} Q$，使得 $U^\mathrm{T} A U = D_A$ 和 $U^\mathrm{T} B U = D_B$；

4. 再设矩阵 $D_C = D_A \triangle D_B$，则有 $C = U^\mathrm{T} D_C U$。

综上所述，合同矩阵可以通过对两个实对称矩阵进行正交对角化得到它们的伴随矩阵，并通过伴随矩阵构造合同矩阵。