标准正交基怎么求

标准正交基指的是向量空间中的一组基，其中每个向量都是单位向量且两两正交（垂直）。以下是求解标准正交基的步骤：

1. 找到一组线性无关的向量作为基向量。假设有 $n$ 个 $m$ 维向量 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_n\}$，它们构成了向量空间的一组基。这些向量可以通过手动选择、随机生成等方式获得。

2. 对于第一个基向量 $\mathbf{q}_1$，将其设置为 $\mathbf{v}_1$，并将其归一化（即将其长度缩放为 $1$）。即 $\mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|}$。

3. 对于后面的基向量 $\mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3, \cdots, \mathbf{q}_n$，使用 Gram-Schmidt 正交化方法将它们与之前的基向量正交化。对于第 $i$ 个基向量 $\mathbf{v}_i$，计算其在前 $i-1$ 个正交化基向量 $\{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \cdots, \mathbf{q}_{i-1}\}$ 的线性组合下的投影 $\mathbf{p}_i$，即

$$\mathbf{p}_i = \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{q}_j}{\|\mathbf{q}_j\|^2} \cdot \mathbf{q}_j$$

然后，将 $\mathbf{q}_i$ 设置为向量 $\mathbf{v}_i$ 减去投影 $\mathbf{p}_i$，并将其归一化。即

$$\mathbf{q}_i = \frac{\mathbf{v}_i - \mathbf{p}_i}{\|\mathbf{v}_i - \mathbf{p}_i\|}$$

4. 再次检查基向量是否正交归一。对于每对基向量 $\mathbf{q}_i$ 和 $\mathbf{q}_j$（$i \ne j$），检查它们的内积是否为零（即 $\mathbf{q}_i \cdot \mathbf{q}_j = 0$）。此外，检查每个基向量的长度是否为 $1$（即 $\|\mathbf{q}_i\| = 1$）。

5. 如果所有基向量都正交归一，则这组基向量就是标准正交基。

需要注意的是，可能存在一组向量无法构成标准正交基，这时我们可以使用 Gram-Schmidt 过程将它们正交化。此外，需要注意计算内积时要使用正确的内积形式，如欧几里德内积、曼哈顿内积等。