矩阵行列式怎么求

矩阵行列式的求解方法分为两种，一种是利用高斯消元法将矩阵化为行简化阶梯形矩阵，然后求出对角线上的元素乘积；另一种是利用行列式的定义式计算，即将矩阵按任意一行或一列展开，然后对每个元素乘上其代数余子式后求和。

例如，对于一个3×3的矩阵A：

$$

A=\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} \\

\end{bmatrix}

$$

第一种方法：

首先将矩阵A进行行变换化为行简化阶梯形矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

0 & a_{22}^{\prime} & a_{23}^{\prime} \\

0 & 0 & a_{33}^{\prime\prime} \\

\end{bmatrix}

$$

其中，$a_{22}^{\prime}=a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}$，$a_{23}^{\prime}=a_{23}-\frac{a_{21}}{a_{11}}a_{13}$，$a_{33}^{\prime\prime}=a_{33}-\frac{a_{31}}{a_{11}}a_{13}-\frac{a_{32}^{\prime}}{a_{22}^{\prime}}a_{23}^{\prime}$。

由矩阵行列式的性质可知，对于行简化阶梯形矩阵，其行列式等于对角线元素的乘积：

$$

det(A)=a_{11}\cdot a_{22}^{\prime}\cdot a_{33}^{\prime\prime}

$$

第二种方法：

选择第一行作为展开的行，按照定义式计算矩阵行列式：

$$

det(A)=a_{11}\begin{vmatrix}

a_{22} & a_{23} \\

a_{32} & a_{33} \\

\end{vmatrix}

-a_{12}\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{23} \\

a_{31} & a_{33} \\

\end{vmatrix}

+a_{13}\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} \\

a_{31} & a_{32} \\

\end{vmatrix}

$$

其中，$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$表示2×2矩阵的行列式。

利用代数余子式的定义，可以将以上三个2×2矩阵的行列式分别表示为：

$$

\begin{vmatrix}

a_{22} & a_{23} \\

a_{32} & a_{33} \\

\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}

$$

$$

\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{23} \\

a_{31} & a_{33} \\

\end{vmatrix}=a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}

$$

$$

\begin{vmatrix}

a_{21} & a_{22} \\

a_{31} & a_{32} \\

\end{vmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}

$$

将上述三个式子代入矩阵行列式的定义式中，可得：

$$

det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})

$$

以上两种方法得出的结果是相同的。