矩阵的伴随矩阵怎么求

给定一个 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，它的伴随矩阵 $A^*$ 可以如下求得：

1. 先求出 $A$ 的每个元素的代数余子式 $A_{ij}$，即将 $a_{ij}$ 所在的行和列划掉后剩余元素的行列式，再乘以 $(-1)^{i+j}$，得到 $n\times n$ 矩阵 $B=(A_{ij})$。

2. 对 $B$ 进行转置得到 $B^T$。

3. 对 $B^T$ 中的每个元素 $b_{ij}$，用 $(-1)^{i+j}$ 乘以它的余子式 $B_{ij}$，得到矩阵 $C=(c_{ij})$。

4. 矩阵 $A^*$ 就是 $C$ 的转置，即 $A^T=(c_{ji})$。

公式表示为：

$$A^*=\begin{pmatrix}

A_{11} & A_{21} &\cdots & A_{n1}\\

A_{12} & A_{22} &\cdots & A_{n2}\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

A_{1n} & A_{2n} &\cdots & A_{nn}

\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}

C_{11} & C_{12} &\cdots & C_{1n}\\

C_{21} & C_{22} &\cdots & C_{2n}\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

C_{n1} & C_{n2} &\cdots & C_{nn}

\end{pmatrix}$$

其中 $C_{ij}=(-1)^{i+j}B_{ij}$。

注意：只有当 $A$ 非奇异时，才有 $A^*$ 存在。当 $A$ 奇异时，$A^*$ 不存在。